Багатовимірні і багатозв`язних системи

Контрольна робота

«Багатовимірні і багатозв'язних системи»

Завдання

Для багатовимірної системи, заданої матрицями А, В, С, отримати:

1. Передавальну функцію ;

2. Частотну передавальну функцію ;

3. Годограф;

4. Імпульсну характеристику ;

5. Перехідну характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Скласти структурну схему системи.

Дано:

;

;

.

Рішення:

1. Передавальна функція

Розглядаємо лінійну систему з постійними параметрами:

,

.

Перетворимо по Лапласу матричні рівняння:

; (1)

, (2)

де

; ;

- Лапласови перетворення координат стану , Вихідних і вхідних сигналів.

Перетворимо рівняння (1):

Виносимо за дужки:

де

- Одинична матриця.

Множимо ліворуч на зворотну матрицю:

Звідки отримуємо:

.

Підставляємо в рівняння (2):

Отримуємо:

Вираз називають передавальної функцією системи.

Знаходимо її:

Знаходимо зворотну матрицю:

Підставляємо:

.

2. Частотна передатна функція

Для отримання частотної передавальної функції виробляємо заміну в передавальної функції :

,

отримуємо:

.

Виділимо дійсну та уявну частини:

,

для цього помножимо чисельник і знаменник на комплексно - пов'язаний знаменник:

;

;

;

.

3. Годограф

Годограф - це графік частотної передавальної функції на комплексній площині при зміні частоти від нуля до нескінченності.

Змінюючи частоту, виробляємо розрахунок дійсної та уявної частин частотної передавальної функції.

Результат розрахунку записуємо в таблицю 1.

Таблиця 1. Розрахунок годографа

Можна побудувати графік на комплексній площині - рис. 1.

Рис. 1. Годограф

4. Імпульсна характеристика

Імпульсна характеристика обчислюється як зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції:

.

Знайдемо полюса передавальної функції:

Бачимо - полюси розташовані в правій півплощині, а це означає, що процес буде розбіжним.

Розкладемо передавальну функцію на прості дроби:

.

Використовуючи табличні значення, знаходимо:

,

.

Таким чином, отримуємо:

.

Змінюючи час від нуля до 5 секунд, робимо розрахунок по формулі, результати заносимо в таблицю 2.

Таблиця 2. Імпульсна характеристика

Будуємо графік імпульсної характеристики - рис. 2.

Рис. 2. Імпульсна характеристика

5. Перехідна характеристика

Перехідна характеристика обчислюється як зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції, поділеній на р:

.

Знайдемо полюса передавальної функції:

; .

Бачимо - полюси розташовані в правій півплощині, а це означає, що процес буде розбіжним.

Розкладемо передавальну функцію, поділену на р, на прості дроби:

.

Наводимо до загального знаменника:

.

Прирівнюємо коефіцієнти при рівних ступенях р:

,

,

.

Звідки знаходимо:

,

,

.

Використовуючи табличні значення, знаходимо:

,

,

.

Таким чином, отримуємо:

.

Змінюючи час від нуля до 5 секунд, робимо розрахунок по формулі, результати заносимо в таблицю 3.

Таблиця 3. Перехідна характеристика

Будуємо графік перехідної характеристики - рис. 3.

Рис. 3. Перехідна характеристика

6. ЛАЧХ

Для отримання ЛАЧХ знайдемо модуль частотної передавальної функції:

.

далі знаходиться 20 десяткових логарифмів від знайденого модуля:

.

Це і є вираз для ЛАЧХ.

Розрахунок значень ЛАЧХ ведемо в логарифмічному масштабі. Результати записуємо в таблицю 4. Розмірність ЛАЧХ - децибели (дБ).

Таблиця 4. ЛАЧХ

Будуємо графік ЛАЧХ - рис. 4.

Рис. 4. ЛАЧХ

7. ФЧХ

ФЧХ - кут повороту вектора на комплексній площині в залежності від частоти:

.

Розрахунок значень ФЧХ ведемо в логарифмічному масштабі. Результати записуємо в таблицю 5. Розмірність ФЧХ - радіани (рад).

Таблиця 5. ФЧХ

Будуємо графік ФЧХ - рис. 5.

Рис. 5. ФЧХ

8. Структурна схема системи

Записуємо матричні рівняння системи:

;

.

Підставляємо вихідні дані:

;

.

Виробляємо множення матриць:

,

,

.

Отримали систему рівнянь, на основі якої будуємо структурну схему - рис. 6.

Рис. 6. Структурна схема системи

Частина 2:

Здійснити синтез замкнутої системи з власними числами

{-1; -4; ± 5 j}.

Побудувати спостерігач повного порядку.

Дано:

,

,

.

Рішення:

1. Синтез замкнутої системи

Розглядаємо лінійну систему з постійними параметрами:

,

.

Нехай управління лінійно залежить від координат стану системи:

,

де

- Вхідний командний сигнал,

К - матриця коефіцієнтів зворотного зв'язку.

Після замикання ця система має структуру, зображену на рис. 7.

Рис. 7. Структура вихідної системи

Рух системи описується лінійним диференціальним рівнянням:

.

Таким чином, динамічні властивості системи повністю визначаються матрицею А - ВК, її характеристичними числами.

Характеристичний многочлен вихідної системи дорівнює:

.

Спектр характеристичних чисел (коріння характеристичного многочлена):

.

Бажаний характеристичний многочлен замкнутої системи за умовою має 4 власних числа, але наша вихідна система має третій порядок, тому одне з власних чисел необхідно прибрати, прибираємо власне число (-1), тоді:

.

Нехай матриця коефіцієнтів зворотного зв'язку , Тоді характеристичний поліном замкнутої системи:

.

Прирівнюємо коефіцієнти при рівних ступенях многочленів і :

,

,

,

.

Вирішуючи отриману систему рівнянь, отримуємо:

,

,

.

Искомое управління приймає вигляд:

.

Структура синтезованої системи представлена ​​на рис. 8.

Вона побудована за рівняннями:

,

,

,

,

.

Рис. 8. Структура синтезованої системи

2. Побудова спостерігача повного порядку

Система

називається асимптотическим спостерігачем повного порядку, якщо для будь-якого початкового стану х (0) і всіх оцінка із зростанням часу асимптотично наближається до вектора стану .

Знайдемо структуру асимптотичного спостерігача, для чого визначимо помилку відновлення і знайдемо модель її зміни:

.

Потім вимагатимемо, щоб при всіх і .

Це рівність можливо при:

,

.

Таким чином, структура асимптотичного спостерігача повного порядку визначається моделлю види:

.

На рис. 9 зображена структура системи та її спостерігача.

Рис. 9. Структура системи з спостерігачем

Завдання синтезу спостерігача системи полягає в тому, щоб знайти матрицю . Це можна зробити, виходячи з умови асимптотичної збіжності оцінки до вектора стану при будь-яких початкових станах спостерігача і системи.

Нехай помилка відновлення , Тоді

.

Помилка відновлення описується лінійним однорідним диференціальним рівнянням з матрицею і ненульовими початковими умовами, а тому асимптотична збіжність помилки до нуля можлива тоді і тільки тоді, коли власні числа матриці , Які називають полюсами спостерігача, розташовуються в лівій півплощині.

Нехай матриця

,

тоді матриця

.

Полюса спостерігача визначаються рівнянням:

.

Перехідні процеси в спостерігачі будуть непорівнянні з процесами в системі, якщо полюса спостерігача будуть значно лівіше полюсів системи. Оскільки характеристичні числа замкнутої системи рівні:

{- 4; ± 5 j},

то розташуємо полюса спостерігача в точках:

.

Бажаний характеристичний поліном спостерігача приймає вигляд:

,

що буде мати місце тоді, коли:

,

,

.

Вирішуючи отриману систему рівнянь, отримуємо:

;

;

.

Знаходимо матрицю:

Модель асимптотичного спостерігача системи приймає вигляд:

,

,

,

.

Структура системи зі своїм асимптотическим спостерігачем повного порядку представлена ​​на рис. 10.

Вона побудована за рівняннями:

,

,

,

,

,

,

.